GRAFICZNA ILUSTRACJA
UKŁADU
RÓWNAŃ
W tym rozdziale poznamy nową metodę rozwiązywania układów
równań – metodę graficzną. W tym
celu wykorzystamy informacje zebrane o układzie współrzędnych i funkcjach
liniowych.
Rozważmy następujący układ równań:
Spróbujmy
wyznaczyć z każdego równania niewiadomą y:
W otrzymanym
układzie równań oba równania są wzorami funkcji liniowych. Każde z tych równań
możemy przedstawić na układzie współrzędnych. Są to funkcje liniowe, więc
wykresami tych wzorów będą pewne proste:
y y
Wykres funkcji y = -x + 3 Wykres funkcji y = 0,5x
Możemy narysować obie te
proste w jednym układzie współrzędnych:
Zwróćmy
uwagę na punkt przecięcia prostych. Punkt ten należy do obu prostych, więc jego
współrzędne spełniają oba równania układu.
Współrzędne
tego punktu (2,1) są rozwiązaniem układu równań:
Aby sprawdzić jej
poprawność, wystarczy rozwiązać układ równań dowolną inną metodą (w naszym przykładzie
będzie to metoda podstawiania):
Rozwiązanie naszego układu
równań (x=2, y=1) odpowiada współrzędnym punktu przecięcia wykresów funkcji
liniowych.
Należy pamiętać, że nie każde
równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi można przekształcić tak, aby
otrzymać wzór funkcji liniowej. Na przykład po przekształceniu równania:
otrzymamy równanie:
… którego wykres funkcji jest równoległy do osi y.
Metoda graficzna nie zawsze jest skuteczna. Na układzie współrzędnych
punkt przecięcia prostych może nie mieścić się na rysunku, bądź może być trudny
do odczytania.
Warto zapamiętać, że jeżeli:
·
układ równań jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie) to proste
przecinają się w jednym punkcie,
·
układ równań jest sprzeczny (nie ma rozwiązań) to proste są
równoległe do siebie,
·
układ równań jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań)
to proste nakładają się na siebie i w konsekwencji otrzymamy tylko jedną prostą.
